PDENNEval

PDENNEval是一个全面评估神经网络方法求解偏微分方程（PDEs）的评测基准。它旨在对当前快速发展的神经网络方法进行评估和比较，以指导未来在这一领域的研究。以下是PDENNEval的简要介绍，包括评测数据、评测方法以及评测指标：

评测数据

PDENNEval选择了19个不同的PDE问题，这些问题来自流体力学、材料科学、金融和电磁学等多个科学领域。这些问题包括非线性、高维、奇异性和复杂几何等关键挑战。评测数据集由使用高精度传统数值计算方法生成的多样化、高保真数据集组成。

评测方法

PDENNEval选取了12个神经网络方法进行评测。根据其背后的数学原理不同，PDENNEval将现有方法分为两大类：基于函数学习（Function Learning Based）的方法和基于算子学习（Operator Learning Based）的方法。

1. 基于函数学习的方法：这类方法依赖使用神经网络直接拟合方程的解函数，通过将方程约束作为训练损失的一部分，以此来确保学习到的模型不仅拟合数据，而且满足物理定律。这类方法的主要区别在于它们处理PDE约束损失项的方法不同，具体包括Deep Ritz Method (DRM)，Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Weak Adversarial Network (WAN)，Derivative-Free Loss Method (DFLM)，Random Feature Method (RFM)和Deep Finite Volume Method (DFVM)。
2. 基于算子学习的方法：这类方法通过学习方程的解算子来解决一系列PDE问题。根据网络学习的目标不同，这类方法可以进一步分为自回归和非自回归方法。自回归方法侧重于学习从先前时间步的解到后续时间步的解的映射，这类方法具体包括U-Net，Message Passing Neural Networks (MPNN)，Fourier neural operator (FNO) 和U-shaped Neural Operators (U-NO)。非自回归方法侧重于学习从辅助函数到解函数的映射，这类具体方法包括Deep Operator Networks (DeepONet)和Physics-Informed Neural Operator (PINO)。

评测指标

PDENNEval设计了一组度量标准来评估方法的性能。这些度量标准分为性能指标和功能指标两大类：

1. 性能指标：包括L2范数相对误差（L2RE）、最大范数误差（Max Error）、模型训练时间、模型推理时间和模型收敛时间。
2. 功能指标（待上传）：包括模型在多个任务上的任务覆盖率和Lipschitz常数，后者用于评估模型解的光滑性。

这些指标旨在全面评估神经网络方法在解决PDE问题时的准确性、效率和鲁棒性。

总结来说，PDENNEval是一个较为全面的评测基准，它通过精心选取的数据集、明确的分类方法和设计合理的评测指标，为神经网络在解决PDE问题上的研究提供了一个可靠的基准和比较平台。