CFDNNEval

CFDNNEval是对12种基于算子学习的神经网络模型进行全面评估的框架，通过这些模型在七个基准流体动力学问题上的模拟表现进行综合评价。

基准模型

这12个基于算子学习的神经网络模型包括FNO, DeepONet, U-Net, U-NO, MPNN, NUFNO, GFormer, OFormer, GNOT, LSM, KNO, 和 UPS。

FNO专注于直接在傅里叶空间中参数化积分核，提供了一种表达能力强且高效的算子学习架构。

DeepONet是一种算子学习模型，包含两个神经网络——分支网用于编码输入函数空间，主干网用于编码输出函数域。

U-Net是卷积神经网络架构。其U形设计由编码器-解码器结构和跳跃连接组成。

U-NO采用类似于 U-Net 的 U 形架构，但通过收缩和扩展函数域来提高内存效率并促进构建更深的神经网络。

MPNN遵循编码-处理-解码框架。它将输入数据转换为一个图，其中节点代表网格单元，边定义局部邻域。编码器计算每个节点的嵌入，嵌入通过消息传递神经网络进行更新。解码器然后将这些处理过的嵌入映射到解决方案。

NUFNO通过最小化 Kullback-Leibler（KL）散度来识别合适的域划分，从而高效地从不规则数据中学习。通过在各个子域中进行插值并根据点密度调整网格大小，NUFNO 最小化了插值误差，从而促进了网格基础神经算子有效处理非均匀输入。

GFormer将 Galerkin 类型的注意机制融入算子学习。该方法具有线性复杂度和一种新的归一化方案，以实现注意力层之间的有效和稳定的比例传播。

OFormer通过引入一个交叉注意模块来解耦输入和输出网格，并结合潜在的时间步进结构，构建了一个可扩展且稳健的时间依赖神经网络模型，用于求解偏微分方程（PDEs）。这些创新使 OFormer 能够有效处理具有多个输入函数和不规则几何形状的问题。

GNOT是一个灵活且可扩展的基于 Transformer 的框架，用于学习算子。它具有一种新颖的异质归一化注意层，能够处理多个输入函数和不规则网格，以及一种几何门控机制，用于解决多尺度问题。

LSM提供了一种创新且高效的求解高维偏微分方程（PDEs）的方法，通过将它们转化为潜在空间。LSM 利用分层投影网络和神经谱块，将高维数据投影到紧凑的潜在空间中，减少计算需求，同时确保收敛和近似的理论保证。

KNO是一种无网格模型，用于求解非线性 PDEs。通过逼近无限维的 Koopman 算子，KNO 线性化复杂的非线性动态，从而实现更准确且可解释的长期预测。

UPS是一个基础模型，旨在求解定义在不同领域、维度和分辨率上的 PDEs。通过统一表示并在预训练的大型语言模型上进行微调，UPS 在 PDEBench 上实现了最先进的结果，展示了其在多样化 PDE 求解场景中的有效性。

基准问题

这些基准问题涵盖了多种二维场景，包括达西流、泰勒-格林涡、顶盖驱动方腔流、管道流、圆柱绕流、两相流以及三维周期性山流。为了进行严格测试，本课题建立了22个与这些基准问题相对应的流体动力学数据集，其中18个数据集是使用有限元法等传统数值技术新生成的。利用这些数据集，我们对12种先进的NN模型进行了细致评估，解决了复杂几何形状、非线性、长期预测、多尺度现象、多相流和对流占优流动等挑战。

达西流 (DAR) 描述液体通过多孔介质的运动，遵循达西定律，其规定速度与渗透性和所施加的压力梯度成正比。达西流主要出现在地下水文系统中，在理解土壤水分输送动态中起着关键作用。

两相流 (TPF) 体现了两种不相溶液体之间的界面动态，其中自旋分解和剪切流变形是 TPF 中的重要现象。变形沿流体流动方向发生，而表面张力则对速度产生反作用，其中的挑战在于如何准确捕捉移动界面的行为。由于其在众多工业和自然过程中相关性，TPF 成为计算流体动力学 (CFD) 的基准问题。

泰勒-格林涡流 (TGV) 描述了不可压缩和粘性流体中涡流的周期性形成和相互作用。由泰勒和格林提出，它作为研究流体流动中湍流和涡流动力学的基本测试案例。由于其定义明确的初始条件和解析解，该问题被广泛用于验证 CFD 代码和湍流模型。其研究为包括空气动力学、海洋学、天体物理学和等离子体物理学在内的各个领域的湍流流动提供了见解。

顶盖驱动腔流 (LDC) 指通过顶部盖子的运动产生的流体运动。该系统在 Navier-Stokes 求解器的研究中成为重要的基准问题，也是研究闭合系统中涡流动力学的范例。与其他基准问题相比，其优越性在于其能够在不可压缩流体中展示各种现象，如角涡流、混沌粒子运动、不稳定性、转捩等。该流动配置还与许多工业应用相关，如短驻涂层和熔融纺丝过程，空气动力学中的减阻肋片，干燥装置中的混合和流动等。

管道流 (TUB)指水-空气流入充满空气的圆管中并在管内形成边界层，是 CFD 中的一个基准问题，因其广泛的适用性和复杂性。由雷诺数决定，管道流可以表现出层流行为，主要受压差和其他外部力（如重力或泵）的影响。理解管道流动动力学对于优化工业过程、设计高效管道和确保安全流体输送至关重要，这使其成为基础流体力学和实际工程应用中的基石。

圆柱绕流 (CCF)是流体力学中的经典问题。由于流场中的圆柱障碍物，其流动特征极其复杂，包括薄的分离剪切层和大规模涡流形成及脱落。流体绕圆柱流动的现象在多个学科中常见，例如换热、烟囱、桥梁和海上平台。CCF 因其具有挑战性的流动特征和在实际工程场景中的相关性，成为 CFD 中的基准问题，促进了基础理解和工程应用的进步。

周期性山丘流 (PHF)最初由 Almeida 等人提出，后来由 Mellen 等人修改，已成为验证和评估 CFD 代码和湍流模型的最广泛使用的基准测试案例之一。其流行的原因在于其模拟设置的简单性，具有明确的边界条件，可以以合理的成本进行计算，并且它所包含的流动现象和湍流建模的复杂性。该流动包含了关键的通用现象，包括从曲面分离、山丘后方的尾流回流、强压力梯度和流动再附着。

评估指标

为了评估这些神经网络模型的性能，本课题选取了涵盖计算精度、效率和流场可视化的6个指标。