hPINNs(PINN with hard constraints)

求解偏微分方程(PDE) 是一类基础的物理问题，在过去几十年里，以有限差分(FDM)、有限体积(FVM)、有限元(FEM)为代表的多种偏微分方程组数值解法趋于成熟。随着人工智能技术的高速发展，利用深度学习求解偏微分方程成为新的研究趋势。PINNs(Physics-informed neural networks) 是一种加入物理约束的深度学习网络，因此与纯数据驱动的神经网络学习相比，PINNs 可以用更少的数据样本学习到更具泛化能力的模型，其应用范围包括但不限于流体力学、热传导、电磁场、量子力学等领域。

传统的 PINNs 网络中的约束都是软约束，即 PDE(偏微分方程) 作为 loss 项参与网络训练。而本案例 hPINNs 通过修改网络输出的方法，将约束严格地加入网络结构中，形成一种更有效的硬约束。

同时 hPINNs 设计了不同的约束组合，进行了软约束、带正则化的硬约束和应用增强的拉格朗日硬约束 3 种条件下的实验。本文档主要针对应用增强的拉格朗日方法的硬约束进行说明，但完整代码中可以通过 train_mode 参数来切换三种训练模式。