PINN解二维瞬态热传导方程

偏微分方程（PDE）的数值求解在科学发现和生产实践中具有重要应用价值。传统的数值求解方法计算复杂度较高，当数据规模较大时求解时间较长。物理信息神经网络（PINN）是一种数据驱动的深度学习PDE求解方法，具有预测速度快、简单有效的特点，已被广泛应用于多种偏微分方程的求解。PINNs 的本质是用神经网络学习物理系统的解，同时让神经网络的输出严格满足已知的物理方程。它突破了传统数值方法（如有限元、有限差分）对网格的依赖，是一种"无网格"的科学计算范式。

二维瞬态热方程的形式采用下式描述：

$\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha \nabla^2 T = f(x, y, t)$

其中 $T$ 为温度项，$f(x, y, t)$ 为源项。

PINNs使用神经网络 $u(x, y, t; \theta)$ 作为代理模型，用于近似真实的方程解。神经网络可以拆解为输入层、隐藏层和输出层三个部分，其中输入层为物理系统的时空坐标 $(x, y, t)$，隐藏层为非线性的激活函数以捕捉物理系统的复杂关系，输出层为待求解的物理变量。

PINNs的训练数据由两部分组成，一部分为数据损失：

$L_{data} = \sum_{i=1}^{N} |u(x_i, y_i, t_i; \theta) - T_i|^2$

这部分损失描述的是神经网络在给定观测数据上的预测值与真实值的差距，其中 $T_i$ 为观测数据的真实值；另一部分为物理损失：

$L_{physics} = \sum_{j=1}^{M} |\frac{\partial u}{\partial t}(x_j, y_j, t_j; \theta) - \alpha \nabla^2 u(x_j, y_j, t_j; \theta) - f(x_j, y_j, t_j)|^2$

这部分损失描述的是神经网络在PDE上的残差大小。最终的损失为数据损失和物理损失的加权和：

$L = \lambda_1 L_{data} + \lambda_2 L_{physics}$

与其它的基于深度学习的偏微分方程求解方法（如FNO）相比，PINNs的优势在于其具有无网格特性和物理先验的嵌入特性。PINNs的无网格特性使其可以应用于观测数据点较少或者不规则域的PDE问题求解，而物理先验嵌入特性则将物理规律作为"先验知识"约束解的合理性，从而提升其泛化能力。

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