利用物理信息神经网络（PINNs）高效求解二维对流扩散方程，以描述污染物在环境中的传播和扩散过程。
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偏微分方程 (PDE) 在科学和工程学科中发挥着重要作用，大多数物理规律都可以表述为PDE的形式，用于求解物理问题，例如声音传播、流体流动、物质传输、电磁场等。偏微分方程尤其是高阶偏微分方程难以求解析解，通常是采用各种方式逼近从而获得近似解。在过去的几十年里，PDE 的数值方法被开发出来并成功地应用于众多领域，然而，数据规模和复杂的问题的增加，数值方法的计算复杂度变得非常高。近年来，数据驱动的深度学习已被用于求解偏微分方程1 2 ，与传统的 PDE 求解器相比，不仅可以处理参数化模拟，还可以解决传统求解器无法处理的逆或数据同化问题3 4，此外，深度学习求解器一经训练，预测速度很快。在这些方法中，物理信息神经网络 (PINNs) 5方法由于其使用神经网络逼近PDE解的简单方法简单而有效，已成为解决PDE问题的一种有前途的方法，已被应用于求解许多著名的偏微分方程。
本案例针对已知方程形式的偏微分方程（PDE）求解场景，基于物理信息神经网络,设计通用的PDE计算工作流，以描述污染物传播和扩散过程的二维对流扩散偏微分方程为例，实现偏微分方程高效求解。其中，污染物的传播和扩散过程采用如下对流扩散方程进行描述：
𝐷(𝑥,𝑦,𝑡)为浓度，𝑆(𝑥,𝑦)为源项。
PINNs通过训练神经网络来最小化损失函数来近似PDE解，它包括反映沿时空域边界的初始条件和边界条件的项，以及域中选定点。在积分域中给定一个输入点，在训练后产生微分方程在该点的估计解。PINNs通过将直接求解控制方程的问题转化为损失函数优化问题来寻找PDE解，工作原理是将数学模型集成到网络中，并用控制方程的残差项来加强损失函数，作为惩罚项来限制可接受解的空间。PINNs考虑了潜在的PDE，即问题的物理性质，而不是试图仅基于数据来推导解决方案，即通过将神经网络拟合到一组状态-值对。
PINNs求解对流扩散方程架构图
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学科领域
流体力学
贡献方
北航
方法
PINNs
问题类型
方程求解
高阶微分操作
