FNO求解二维Navier-Stokes方程

流体力学 北航

纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）是计算流体力学中描述流体运动的基本方程，是一组描述粘性流体运动方向的偏微分方程。以单位面积内不可压缩流体的涡度形式下的方程如下：

$$\partial_t w(x,t) + u(x,t)\cdot\nabla w(x,t) = \nu \Delta w(x,t) + f(x), \qquad x \in (0,1)^2,\; t \in (0,T]$$ $$\nabla \cdot u(x,t) = 0, \qquad x \in (0,1)^2,\; t \in [0,T]$$ $$w(x,0) = w_0(x), \qquad x \in (0,1)^2$$

方程描述了速度场 $u(x,t)$ 和涡度场 $w(x,t)$ 的演变。其中，$\partial_t w$ 表示涡度场的时间导数，$\nabla \cdot u$ 为速度场的散度，$\Delta w$ 是涡度场的拉普拉斯算子，$\nu$ 表示粘性系数，$f(x)$ 为外部作用力。

傅里叶神经算子（Fourier Neural Operator，FNO）是一种能够学习无限维函数空间映射的新型深度学习架构。该架构可直接学习从任意函数参数到解的映射，用于解决一类偏微分方程的求解问题，具有更强的泛化能力。FNO 的网络结构如下图所示：

FNO模型框架图

图：FNO 模型框架图，使用的是 Fourier Neural Operator 论文中的模型框架图。

首先，FNO 模型通过在傅里叶空间中直接参数化积分核，构建了一个高效的神经算子架构。其次，该算法利用残差学习结构，逼近输入的初始条件与真实解之间的映射，从而精确预测流体的动态行为。重要的是，FNO 模型能够高效处理不同边界条件和初始条件下的 Navier-Stokes 方程，具有很强的泛化能力。

本案例使用 FNO 模型求解二维 Navier-Stokes 方程，通过前 10 个时间步的输入预测输出。