BFNO求解泊松方程

Born 傅里叶神经算子（B-FNO）是一种创新的解决广义泊松方程的工具，特别适用于复杂电磁系统的建模。该方法首先利用 Born 近似方法快速计算粗略解，然后通过残差学习结构构建傅里叶神经算子，逼近粗略解和真实解之间的映射。此外，B-FNO 引入了共形映射工具，使其能够在不同区域定义的 PDE 求解中进行迁移，而无需重新训练。这大大提升了其泛化能力和应用范围，被证明在减少训练数据集大小和增强对未见场景的泛化能力方面具有显著优势。

具体的，在区域 $\Omega$ 内，广义泊松方程的定义如下：

$$-\nabla \cdot [\epsilon_r(r) \nabla \phi(r)] = \frac{\rho(r)}{\epsilon_0} \quad \text{in} \ \Omega$$ $$\phi(r) = \beta(r) \quad \text{on} \ \partial \Omega$$

该方程描述了不均匀介质中电势 $\phi(r)$ 和电荷 $\rho(r)$ 的关系，其中 $\epsilon_0$ 和 $\epsilon_r(r)$ 分别表示真空介电常数和相对介电常数分布，$\beta(r)$表示边界条件。由于该方程为一个二阶偏微分方程，需要边界条件（如 Dirichlet 边界）来完全确定唯一解。

基于Born近似对广义泊松方程近似求解可以通过一个基于Born级数的线性积分算子确定，表达式如下：

$$B(\cdot)(r) = \int_{\Omega} G_0(r, r') \nabla'[\text{ln}\epsilon_r(r')] \nabla'(\cdot) \cdot \, d^{n}r'$$

其中，$G_0(r, r')$ 为格林函数，且满足 $\nabla^2 G_0(r, r') = \delta(r - r')$ ， $G_0(r|_{\partial\Omega}, r') = 0$​ 。

B-FNO首先利用 Born 近似方法快速计算粗略解，然后通过残差学习结构构建傅里叶神经算子，拟合 Born 近似解和真实解之间的映射关系。

该页面展示了B-FNO算法对电磁场的预测能力。

图1展示了B-FNO模型预测的电磁场和真实电磁场的可视化对比。从图中可以看出，B-FNO 模型在精确度上表现出色，能够有效捕捉电磁场的复杂分布。

图2包含两个部分：第一个图显示了 B-FNO 在训练集和验证集上的损失函数收敛曲线。该曲线表明模型在训练过程中逐步收敛，验证了其稳定性和高效性。第二个图则展示了 B-FNO 的基础流程框架图。该框架通过使用傅里叶神经算子（FNO）拟合 Born 近似方法的计算值和实际标签值之间的残差，实现对电磁场的精确预测。这种方法不仅提高了计算效率，还增强了模型对不同场景的泛化能力，使其在电磁场预测中表现出色。

参考文献

Zong, Zheng, et al. "A Born Fourier Neural Operator for Solving Poisson’s Equation with Limited Data and Arbitrary Domain Deformation." IEEE Transactions on Antennas and Propagation (2023).

Li, Zongyi, et al. "Fourier neural operator for parametric partial differential equations." arXiv preprint arXiv:2010.08895 (2020).

Winslow, Alan M. "Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh." Journal of computational physics 1.2 (1966): 149-172.

BFNO架构

BFNO求解结果