深度学习求解偏微分方程

背景

偏微分方程(PDE)是描述自然现象和工程问题的核心数学工具，广泛应用于流体力学、量子力学、热传导、电磁场等领域。传统数值方法（如有限元法、有限差分法）在处理高维PDE时面临严重的"维度灾难"问题，计算复杂度随维度指数增长。

方法

中山大学提出的深度学习方法利用神经网络强大的函数逼近能力来求解PDE。通过物理信息神经网络(PINN)框架，将偏微分方程的残差项、边界条件和初值条件嵌入神经网络的损失函数中。利用自动微分技术精确计算网络输出的高阶导数，结合反向传播算法优化网络参数，从而学习PDE的解析解或近似解。

应用场景

该方法特别适用于：高维PDE问题（如金融期权定价中的Black-Scholes方程）、复杂几何区域上的问题、反问题与参数识别、多物理场耦合问题等场景。